Déplacement Moyenne Filtre Transfert Fonction

Traitement du signalFiltres numériques Les filtres numériques sont par essence des systèmes échantillonnés. Les signaux d'entrée et de sortie sont représentés par des échantillons avec une distance de temps égale. Les filtres de réponse à implants finis (FIR) sont caractérisés par une réponse temporelle dépendant uniquement d'un nombre donné des derniers échantillons du signal d'entrée. En d'autres termes: une fois que le signal d'entrée est tombé à zéro, la sortie du filtre fera de même après un nombre donné de périodes d'échantillonnage. La sortie y (k) est donnée par une combinaison linéaire des derniers échantillons d'entrée x (k i). Les coefficients b (i) donnent le poids pour la combinaison. Ils correspondent également aux coefficients du numérateur de la fonction de transfert de filtres du z-domaine. La figure suivante montre un filtre FIR d'ordre N 1: Pour les filtres linéaires de phase, les valeurs des coefficients sont symétriques autour du milieu et la ligne à retard peut être repliée autour de ce point central afin de réduire le nombre de multiplications. La fonction de transfert des filtres FIR n'effectue que le numérateur. Cela correspond à un filtre à zéro. Les filtres FIR nécessitent habituellement des commandes élevées, d'une amplitude de plusieurs centaines. Ainsi, le choix de ce type de filtres aura besoin d'une grande quantité de matériel ou de CPU. Malgré cela, une raison de choisir une implémentation de filtre FIR est la capacité à obtenir une réponse en phase linéaire, ce qui peut être une exigence dans certains cas. Néanmoins, le concepteur principal a la possibilité de choisir des filtres IIR avec une bonne linéarité de phase dans la bande passante, comme les filtres Bessel. Ou pour concevoir un filtre passe-haut pour corriger la réponse en phase d'un filtre IIR standard. Les modèles de moyenne mobile (MA) Les modèles de moyenne mobile (MA) sont des modèles de processus sous la forme: MA processus est une représentation alternative des filtres FIR. Filtre moyen Modifier Un filtre calculant la moyenne des N derniers échantillons d'un signal C'est la forme la plus simple d'un filtre FIR, tous les coefficients étant égaux. La fonction de transfert d'un filtre moyen est donnée par: La fonction de transfert d'un filtre moyen a N zéros également espacés le long de l'axe de fréquence. Cependant, le zéro en DC est masqué par le pôle du filtre. Par conséquent, il existe un lobe plus grand un DC qui tient compte de la bande passante du filtre. Filtre intégrateur-peigne en cascade (CIC) Modifier Un filtre intégrateur-peigne en cascade (CIC) est une technique spéciale pour la mise en œuvre de filtres moyens placés en série. Le placement en série des filtres moyens améliore le premier lobe à DC par rapport à tous les autres lobes. Un filtre CIC implémente la fonction de transfert de N filtres moyens, chacun calculant la moyenne des échantillons R M. Sa fonction de transfert est ainsi donnée par: Les filtres CIC sont utilisés pour décimer le nombre d'échantillons d'un signal par un facteur de R ou, en d'autres termes, pour ré-échantillonner un signal à une fréquence inférieure, rejetant des échantillons R 1 sur R. Le facteur M indique la quantité du premier lobe utilisé par le signal. Le nombre d'étages moyens de filtrage, N. Indique à quel point d'autres bandes de fréquence sont amorties, au détriment d'une fonction de transfert moins plate autour de DC. La structure de CIC permet d'implémenter l'ensemble du système avec seulement des additionneurs et des registres, sans utiliser de multiplicateurs qui sont gourmands en termes de matériel. Le rééchantillonnage par un facteur R permet d'augmenter la résolution du signal par des bits log 2 (R) (R). Filtres canoniques Les filtres canoniques implémentent une fonction de transfert de filtre avec un nombre d'éléments de retard égal à l'ordre du filtre, un multiplicateur par coefficient de numérateur, un coefficient multiplicateur par dénominateur et une série d'additionneurs. De même que pour les filtres actifs, les structures canoniques ont montré que ces types de circuits étaient très sensibles aux valeurs des éléments: une petite variation des coefficients avait un effet important sur la fonction de transfert. Ici aussi, la conception des filtres actifs est passée des filtres canoniques à d'autres structures telles que des chaînes de sections de second ordre ou des filtres de sauts. Chaîne de Sections de Deuxième Ordre Modifier Une section de deuxième ordre. Souvent appelé biquad. Implémente une fonction de transfert de second ordre. La fonction de transfert d'un filtre peut être divisée en un produit de fonctions de transfert associées chacune à une paire de pôles et éventuellement une paire de zéros. Si l'ordre des fonctions de transfert est impair, une section de premier ordre doit être ajoutée à la chaîne. Cette section est associée au pôle réel et au zéro réel s'il en existe un. Direct-form 1 direct-form 2 direct-form 1 transposé direct-form 2 transposé La forme directe 2 transposée de la figure suivante est particulièrement intéressante en termes de matériel requis ainsi que le signal et le coefficient de quantification. Digital Leapfrog Filters Modifier la structure du filtre Modifier Leapfrog numérique base de filtres sur la simulation des filtres analogiques actifs leapfrog. L'incitation à ce choix est d'hériter des excellentes propriétés de sensibilité à la bande passante du circuit d'échelle d'origine. Le filtre passe-bas passe-tout bipolaire 4ème ordre suivant peut être implémenté en tant que circuit numérique en remplaçant les intégrateurs analogiques par des accumulateurs. Remplacer les intégrateurs analogiques par des accumulateurs correspond à simplifier la transformation Z à z 1 s T. Qui sont les deux premiers termes de la série de Taylor de z e x p (s T). Cette approximation est assez bonne pour les filtres où la fréquence d'échantillonnage est beaucoup plus élevée que la bande passante du signal. Transformation de la fonction de transfert La représentation de l'espace d'état du filtre précédent peut être écrite comme: A partir de ce jeu d'équations, on peut écrire les matrices A, B, C, D comme: A partir de cette représentation, des outils de traitement de signal comme Octave ou Matlab permettent de tracer La réponse en fréquence des filtres ou pour examiner ses zéros et ses pôles. Dans le filtre numérique «leapfrog», les valeurs relatives des coefficients définissent la forme de la fonction de transfert (Butterworth, Chebyshev.), Alors que leurs amplitudes fixent la fréquence de coupure. En divisant tous les coefficients par un facteur de deux, la fréquence de coupure diminue d'une octave (également un facteur de deux). Un cas particulier est le filtre Buterworth 3 ème ordre qui a des constantes de temps avec des valeurs relatives de 1, 12 et 1. Grâce à cela, ce filtre peut être implémenté en matériel sans multiplicateur, mais en utilisant des changements à la place. Les modèles autorégressifs (AR) sont des modèles de processus sous la forme: où u (n) est la sortie du modèle, x (n) est l'entrée du modèle et u (n - m) sont les précédents Échantillons de la valeur de sortie du modèle. Ces filtres sont appelés autorégressifs car les valeurs de sortie sont calculées sur la base de régressions des valeurs de sortie précédentes. Les processus AR peuvent être représentés par un filtre multipolaire. Filtres ARMA Modifier Les filtres ARMA (Autonomie moyenne mobile) sont des combinaisons de filtres AR et MA. La sortie du filtre est donnée comme une combinaison linéaire à la fois de l'entrée pondérée et des échantillons de sortie pondérés: les processus ARMA peuvent être considérés comme un filtre IIR numérique, avec les deux pôles et les zéros. Les filtres AR sont préférés dans de nombreux cas parce qu'ils peuvent être analysés en utilisant les équations de Yule-Walker. Les processus MA et ARMA, d'autre part, peuvent être analysés par des équations non linéaires compliquées, difficiles à étudier et à modéliser. Si nous avons un processus AR avec des coefficients de pondération a (a vecteur de a (n), a (n - 1).) Une entrée de x (n). Et une sortie de y (n). Nous pouvons utiliser les équations yule-walker. On dit que x 2 est la variance du signal d'entrée. Nous traitons le signal de données d'entrée comme un signal aléatoire, même si c'est un signal déterministe, parce que nous ne savons pas ce que la valeur sera jusqu'à ce que nous le recevons. Nous pouvons exprimer les équations de Yule-Walker comme: Où R est la matrice de corrélation croisée de la sortie du processus Et r est la matrice d'autocorrélation de la sortie du processus: Variance Edit On peut montrer que: On peut exprimer la variance du signal d'entrée comme: , En élargissant et en remplaçant par r (0). Nous pouvons relier la variance de sortie du processus à la variance d'entrée: Réponse en fréquence du filtre moyen courant La réponse en fréquence d'un système LTI est le DTFT de la réponse impulsionnelle, La réponse impulsionnelle d'une moyenne mobile L - Filtre moyen est FIR, la réponse en fréquence se réduit à la somme finie Nous pouvons utiliser l'identité très utile pour écrire la réponse en fréquence comme où nous avons laisser ae minus jomega. N 0 et M L moins 1. On peut s'intéresser à l'ampleur de cette fonction afin de déterminer quelles fréquences passent par le filtre sans atténuation et qui sont atténuées. Ci-dessous un graphique de l'ampleur de cette fonction pour L 4 (rouge), 8 (vert) et 16 (bleu). L'axe horizontal va de zéro à pi radians par échantillon. Notez que dans les trois cas, la réponse en fréquence a une caractéristique passe-bas. Une composante constante (fréquence zéro) dans l'entrée passe par le filtre sans atténuation. Certaines fréquences plus élevées, telles que pi 2, sont complètement éliminées par le filtre. Cependant, si l'intention était de concevoir un filtre passe-bas, alors nous n'avons pas très bien fait. Certaines des fréquences plus élevées sont atténuées seulement par un facteur d'environ 110 (pour la moyenne mobile à 16 points) ou 13 (pour la moyenne mobile à quatre points). Nous pouvons faire beaucoup mieux que cela. Le diagramme ci-dessus a été créé par le code Matlab suivant: omega 0: pi400: pi H4 (14) (1-exp (-iomega4)) (1-exp (-iomega)) H8 (18) Iomega8)) (1-exp (-iomega)) tracé (oméga, abs (H4) abs (H8) abs (1-exp (-iomega) 9.3.1 Introduction au filtrage Dans le domaine du traitement des signaux, la conception de filtres de signaux numériques implique le processus de suppression de certaines fréquences Et stimuler les autres. Un modèle de filtre simplifié est celui où le signal d'entrée est modifié pour obtenir le signal de sortie en utilisant la formule de récurrence. La mise en œuvre de (9-23) est simple et ne nécessite que des valeurs de départ, puis est obtenue par simple itération. Puisque les signaux doivent avoir un point de départ, il est courant d'exiger que et pour. Nous soulignons ce concept en faisant la définition suivante. Définition 9.3 (Séquence Causal) Compte tenu des séquences d'entrée et de sortie. Si et pour, la séquence est dite causale. Étant donné la séquence causale, il est facile de calculer la solution à (9-23). Utiliser le fait que ces séquences sont causales: L'étape itérative générale est 9.3.2 Les filtres de base Les trois filtres de base simplifiés suivants servent d'illustrations. (I) Zeroing Out Filter, (notez que). (Ii) Boost Up Up Filter, (notez-le). (Iii) Filtre combiné. La fonction de transfert pour ces filtres de modèle a la forme générale suivante où les transformations z des séquences d'entrée et de sortie sont et, respectivement. Dans la section précédente, nous avons mentionné que la solution générale à une équation de différence homogène n'est stable que si les zéros de l'équation caractéristique se trouvent à l'intérieur du cercle unitaire. De même, si un filtre est stable, les pôles de la fonction de transfert doivent tous se trouver à l'intérieur du cercle unitaire. Avant de développer la théorie générale, nous aimerions étudier la réponse d'amplitude lorsque le signal d'entrée est une combinaison linéaire de et. La réponse d'amplitude pour la fréquence utilise le signal d'unité complexe, et est définie comme étant La formule pour sera rigoureusement expliqué après quelques exemples d'introduction. Exemple 9.21. Étant donné le filtre. 9.21 (a). Montrer que c'est un filtre à zéro pour les signaux et et calculer la réponse d'amplitude. 9.21 (b). Calculer les réponses d 'amplitude et étudier le signal filtré pour. 9.21 (c). Calculer les réponses d 'amplitude et étudier le signal filtré pour. Figure 9.4. La réponse d 'amplitude pour. Figure 9.5. L'entrée et la sortie. Figure 9.6. L'entrée et la sortie. Explorer la solution 9.21. Exemple 9.22. Étant donné le filtre. 9.22 (a). Montrer que c'est un filtre de stimulation pour les signaux et et calculer la réponse d'amplitude. 9.22 (b). Calculer les réponses d 'amplitude et étudier le signal filtré pour. Figure 9.7. La réponse d 'amplitude pour. Figure 9.8. L'entrée et la sortie. Explorer la solution 9.22. 9.3.3 L'équation de filtre générale La forme générale d'une équation de différence de filtre d'ordre est l'emplacement et les constantes. Notez bien que les termes impliqués sont de la forme et où et, ce qui rend ces termes retardés. La forme compacte de l'écriture de l'équation de différence est l'endroit où le signal d'entrée est modifié pour obtenir le signal de sortie à l'aide de la formule de récurrence. La partie éteindra les signaux et stimulera les signaux. Remarque 9.14. La formule (9-31) est appelée équation de récurrence et les coefficients de récurrence sont et. Il montre explicitement que la sortie actuelle est une fonction des valeurs passées, pour, l'entrée actuelle, et les entrées précédentes pour. Les séquences peuvent être considérées comme des signaux et elles sont nulles pour les indices négatifs. Avec cette information, nous pouvons maintenant définir la formule générale de la fonction de transfert. Utiliser la propriété de décalage temporel pour les séquences causales et prendre la transformation z de chaque terme dans (9-31). Nous obtenons Nous pouvons prendre en compte les sommes et écrire ceci sous une forme équivalente. D'après l'équation (9-33), on obtient ce qui conduit à la définition importante suivante. Définition 9.4 (Fonction de transfert) La fonction de transfert correspondant à l'équation de différence d'ordre (8) est donnée par la formule (9-34) est la fonction de transfert pour un filtre à réponse impulsionnelle infinie (filtre IIR). Dans le cas particulier où le dénominateur est unité, il devient la fonction de transfert pour un filtre de réponse impulsionnelle finie (filtre FIR). Définition 9.5 (Réponse Unité-Échantillon) La séquence correspondant à la fonction de transfert est appelée réponse unité-échantillon. Théorème 9.6 (Réponse de sortie) La réponse de sortie d'un filtre (10) donné un signal d'entrée est donné par la transformation z inverse et en forme de convolution il est donné par Une autre utilisation importante de la fonction de transfert est d'étudier comment un filtre affecte Différentes fréquences. En pratique, un signal de temps continu est échantillonné à une fréquence qui est au moins deux fois la fréquence du signal d'entrée la plus élevée pour éviter le repliement de fréquence ou l'aliasing. C'est parce que la transformée de Fourier d'un signal échantillonné est périodique avec la période, bien que nous ne le prouvons pas ici. Aliasing empêche la récupération précise du signal original de ses échantillons. On peut maintenant montrer que l'argument de la transformée de Fourier se cartographie sur le cercle de l'unité du plan z par la formule (9-37), où l'on appelle la fréquence normalisée. Par conséquent, la transformation z évaluée sur le cercle unité est également périodique, sauf avec la période. Définition 9.6 (Réponse d'amplitude) La réponse d'amplitude est définie comme étant l'amplitude de la fonction de transfert évaluée au niveau du signal d'unité complexe. La formule est (9-38) sur l'intervalle. Le théorème fondamental de l'algèbre implique que le numérateur a des racines (appelées zéros) et que le dénominateur a des racines (appelées pôles). Les zéros peuvent être choisis en paires conjuguées sur le cercle unitaire et pour. Pour la stabilité, tous les pôles doivent être à l'intérieur du cercle d'unité et pour. En outre, les pôles sont choisis pour être des nombres réels et / ou des couples conjugués. Cela garantit que les coefficients de récurrence sont tous des nombres réels. Les filtres IIR peuvent être tous polaires ou neutres et la stabilité est une préoccupation. Les filtres FIR et tous les filtres zéro sont toujours stables. 9.3.4 Conception des filtres En pratique, la formule de récurrence (10) est utilisée pour calculer le signal de sortie. Cependant, la conception du filtre numérique est basée sur la théorie ci-dessus. On commence par sélectionner l'emplacement des zéros et des pôles correspondant aux exigences de conception du filtre et construire la fonction de transfert. Puisque t les coefficients en sont réels, tous les zéros et les pôles ayant une composante imaginaire doivent se trouver dans des couples conjugués. Ensuite, les coefficients de récurrence sont identifiés en (13) et utilisés en (10) pour écrire le filtre récursif. Le numérateur et le dénominateur de peuvent être factorisés en facteurs quadratiques avec des coefficients réels et éventuellement un ou deux facteurs linéaires avec des coefficients réels. Les principes suivants sont utilisés pour construire. (I) Facteurs de réduction de zéro Pour filtrer les signaux et, utiliser des facteurs de la forme dans le numérateur de. Ils contribueront au terme (ii) Augmenter les facteurs Pour amplifier les signaux et utiliser les facteurs de la forme